Was ist eine Ableitung?

Ich lese gerade The Simple Essence of Automatic Differentiation von Conal Elliott. Das Paper beschreibt, was automatisches Differenzieren eigentlich bedeutet; nicht primär, wie man es implementiert, sondern, was es bedeutet. Eine Implementierung fällt dabei fast schon beiläufig mit raus. Um zu verstehen, was automatisches Ableiten bedeutet, muss man zunächst verstehen, was überhaupt eine Ableitung bedeutet und hier liefert das Paper direkt einen bemerkenswerten Gedanken, denn was eine Ableitung ist – sollte man im ersten Moment meinen – müsste doch jedem Menschen, der einen Mathematikunterricht in seinem Leben besucht hat, verständlich sein. Das ist aber genau nicht so, denn im Mathematikunterricht kommt zwar das Wort Ableitung oft vor, aber man erfährt nie, was es eigentlich ist. Man erfährt, wie man eine Ableitung berechnet, aber das ist nicht dasselbe wie zu wissen, was sie ist und was sie bedeutet. Man erfährt außerdem, dass die Ableitung einer Funktion, die reelle Zahlen auf reelle Zahlen abbildet, als Steigung der Kurve, die diese Funktion beschreibt, interpretiert werden kann. Abgesehen davon, dass sich die Intuition der Steigung nicht viel weiter verallgemeinern lässt, beispielsweise auf Funktionen zwischen beliebigen Vektorräumen, ist die Interpretation der Steigung schon durch die Notation wieder zunichte gemacht. Sei beispielsweise die Funktion f(x) = x2 gegeben. Wir sagen dann, dass die Ableitung dieser Funktion beispielsweise an der Stelle x = 3 schlicht 6 sei, mit dem Hinweis darauf, dass die Steigung der Kurve von x2 an der Stelle 3 eben gerade 6 sei. Aber die Steigung ist ja nicht 6. Was soll das überhaupt bedeuten? Um eine Lehrperson, die so was sagt, herauszufordern, könnte man ja einfach mal behaupten, nein, die Steigung ist nicht 6, sondern Nudelsuppe. Diese Behauptung ist offensichtlich absurd. Nudelsuppe ist zunächst ja nur ein beliebiges Wort, wie kann denn ein Wort eine Steigung sein? Na ja, wie kann denn eine Zahl eine Steigung sein? Jetzt wird die Mathelehrperson endlich herausrücken mit der Wahrheit. Sechs ist die Steigung an der Stelle, weil, wenn ich eine Gerade durch diesen Punkt und einen infinitesimal davon entfernten Punkt auf der Kurve lege, dann ist diese Gerade beschrieben durch die Funktion g(y) = 6 * y. Aha, und damit wäre dann auch schon zugegeben, dass die Steigung eben doch nicht sechs ist, sondern 6 *, also eine Funktion.

Die Steigung ist eine lineare Funktion und keine Zahl. Wir schreiben zwar eine Zahl als Steigung, aber das ist nur Notation, denn da es sich um lineare Funktionen handelt, ist ja klar, dass, wenn jemand 6 schreibt, eigentlich nur die Funktion 6* gemeint sein kann. Die schlichte Zahl repräsentiert die Funktion; diese ist die Steigung, während jene sie nur per Konvention beschreibt. Insbesondere müssen wir die Funktion im weiteren Verlauf aber immer mitdenken. Es ist nämlich ein Typfehler, wenn wir die Zahl 6, die eigentlich eine Funktion repräsentiert, jetzt auf einmal addieren zu einer anderen Zahl, die aber wirklich beispielsweise eine Länge repräsentiert. Etwas offensichtlicher wird das, wenn wir die Achsen unseres Kurvendiagrams beschriften und beispielsweise die x-Achse als Zeit in Sekunden und die y-Achse als Länge in Metern verstehen. Die Steigung ist dann nicht mehr einfach sechs, sondern umgangsprachlich »sechs Meter pro Sekunde.« Bei sechs Meter pro Sekunde lässt sich gedanklich viel weniger bequem verweilen, denn das Meter pro Sekunde drückt den Funktionscharakter schon mit aus. »Gib mir eine Anzahl von Sekunden und ich gebe dir eine Anzahl von Metern.« Das ist eine Funktion. Und eine lineare Funktion ist es, was eine Steigung ist.

Diese Einsicht – die Ableitung ist eine lineare Funktion – lässt sich viel besser verallgemeinern als Die Ableitung ist eine Zahl. In der Schule hat man beispielsweise gelernt, dass die Ableitung einer Funktion, die von ℝ auf ℝⁿ abbildet, ein n-stelliger Vektor ist. Aber wir sind jetzt schlauer. Die Ableitung ist nicht ein n-stelliger Vektor, sondern sie wird nur von einem solchen repräsentiert. Tatsächlich ist auch in diesem höherdimensionalen Fall die Ableitung weiterhin eine lineare Abbildung.

Das, was hier auf der Metaebene passiert – das, worin Conal Elliott ein Meister ist – nennt sich Abstraktion. Erstaunlicherweise ist Abstraktion im Mathematikunterricht (und vielleicht sogar in der Mathematik selbst) nie thematisch. Abstraktion ist thematisch in der Philosophie und in der funktionalen Programmierung. Dabei ist Abstraktion das, was wirkliches Verständnis bedingt und gehört damit eigentlich in jedem Fach zur Sprache gebracht. Man weiß etwas erst, wenn man einen abstrakten Begriff davon hat. Man weiß noch nicht, was eine Ableitung ist, wenn man nur weiß, wie man eine Ableitung in verschiedenen Fällen repräsentiert. Es ist noch kein Wissen, wenn man sagt »Die Ableitung, das ist in dem Fall eine Zahl, in diesem Fall ein Vektor und in diesem Fall eine Matrix.« Erst, wenn man sich der Gemeinsamkeit dieser Fälle bewusst ist, erst wenn man die Identität in der Mannigfaltigkeit gefunden hat, dann weiß man etwas.